EINSTEIN 1.0
Antonio J. Lechuga Navarro
Albert Einstein en 1905
Einstein, en una de sus famosas frases, decía que algo no se comprende hasta que uno no es capaz de explicárselo a su abuela. Para los que nos dedicamos a la enseñanza, este difícil envite admite una variante en ocasiones no menos ardua, la de hacérselo entender a nuestros alumnos. Algunos de nosotros hemos padecido, sobre todo en nuestra formación superior, la transmisión de una arquitectura conceptual que empezaba, de alguna manera, la casa por el tejado, manipulando complicados tratamientos matemáticos cuando las ideas esenciales se mostraban tangencialmente o ni siquiera eran reconocidas. En muchos casos la belleza del pensamiento científico ha sido eclipsada por esa máscara de formalización lógica tan ilógica.
Desde un punto de vista filosófico, la creencia en la simplicidad esencial de la Naturaleza constituye probablemente la principal idea fuerza de la concepción científica del mundo. Si esta creencia es correcta la teoría más complicada alza su vuelo prendida de una idea sencilla. Por tanto, el pensamiento profundo es aquel que construye el edificio teórico sobre pilares parsimoniosos. Einstein decía que su arma más valiosa era la intuición. La intuición radiografía lo complejo mostrando su esencia oculta. Una vez desbrozado el camino por el genio, la sorprendente pregunta es: ¿cómo nadie ha pensado esto antes?
El reto, por tanto, es el siguiente: ¿es posible entender de modo sencillo la enorme contribución que Einstein realizó al avance de las ciencias físico-químicas? ¿Es posible explicárselo a nuestros alumnos de 4º de E.S.O. o de Bachillerato? Nos movemos, por consiguiente, en el terreno de la divulgación científica sin pretensión de reconstruir genéticamente el curso del pensamiento de Einstein aunque quizás el proceso esencial, al menos en alguna de sus etapas, no fue del todo diferente a lo que sigue. Sentadas las bases conceptuales, las sucesivas versiones más complejas y formalizadas de la teoría descansarán sobre terreno firme mostrando, ahora sí, una belleza accesible sin la intimidante arrogancia de lo incomprensible. Nos limitaremos, en principio, a los importantes y revolucionarios avances realizados en el año 1905, del cual se cumple el primer centenario. En una serie de artículos esenciales Einstein puso las bases de la Física moderna. Lo hizo al margen de la actividad académica reglada, sin participar en institución universitaria alguna, con el único instrumento de su pensamiento, mientras trabajaba en una oficina de patentes. Posteriormente extenderemos la teoría de la relatividad restringida, expuesta en dos de esos artículos, a su culminación natural y lógica: la relatividad general, aunque este enorme logro consumió bastantes años de su actividad y esfuerzo intelectual.
1. MOVIMIENTO BROWNIANO
Para los químicos del siglo XIX el concepto de átomo fue una herramienta fundamental: lo sugería fuertemente la ley de Proust de las proporciones definidas y la adopción del átomo como entidad teórica primaria de la Química hizo progresar notablemente a esta ciencia. Para los físicos este concepto presentaba dos problemas: en primer lugar que sus herramientas matemáticas más usuales y exitosas, el cálculo diferencial e integral, trataban a la materia como algo continuo, es decir, infinitamente divisible; en segundo lugar los átomos no habían sido observados directamente1, siendo este “déficit de realidad” un importante obstáculo para un nutrido grupo de físicos, influidos por una interpretación extrema del positivismo.
Si suspendemos granos muy pequeños (como, por ejemplo, de polen) en la superficie de un líquido estacionario experimentan un movimiento incesante y errático: el llamado movimiento browniano. Pero, ¿a qué se debía? Nadie lo entendía muy bien. Sin embargo, donde todo el mundo veía un enigma Einstein vio a los escurridizos átomos en acción. Las partículas viajan en el líquido a diferentes velocidades (ahora esto lo sabemos bien por la evaporación, donde sólo escapan las más rápidas). Si todas lo hicieran a la misma velocidad el grano de polen recibiría los mismos golpecitos por todo su contorno anulando sus efectos: quedaría en reposo. Pero, de acuerdo a la estadística, es muy difícil que coincidan además en la velocidad que llevan por lo que ocasionalmente producirán un efecto neto: la partícula de polen se moverá erráticamente de un lado para otro incesantemente y la energía de este movimiento proviene de la agitación térmica de ¡los átomos! Einstein creó un modelo matemático para el movimiento browniano que fue validado en experimentos posteriores. Se pudo medir así la constante más importante de la Química, el número de Avogadro, con un valor coincidente con el obtenido por otros métodos independientes. Hasta los más escépticos fueron convencidos por estos argumentos. Por tanto, la materia tiene estructura granular, pero ¿y la luz?
2. EFECTO FOTOELÉCTRICO
La luz era concebida como un conjunto de vibraciones que se extendían por el espacio y en el tiempo de modo continuo. Muchos experimentos bien establecidos avalaban esta imagen: interferencia, difracción, polarización, etc. El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones por un metal al que le llega luz y hoy día lo usamos para construir placas fotovoltaicas. Pero este fenómeno presentaba aspectos inquietantes para la teoría clásica ya que una onda de frecuencia baja, pero muy intensa, debería de hacer salir también a los electrones, sin embargo, no era esto lo que se observaba. Si la frecuencia era baja no había manera de arrancar al electrón por más que se aumentara la intensidad: se requería una frecuencia mínima. Este hecho sugirió a Einstein que se necesitaba todo un paquete de luz completo con la energía apropiada para arrancar a un electrón y no muchas ondas acumulando sus efectos. Por tanto, la luz también tiene una estructura granular. Podríamos decir apropiadamente que ¡hay átomos de luz! Pero extrañamente también se comporta como una onda, según ya hemos mencionado. Cualquier otro hubiera visto este fenómeno como insalvablemente contradictorio y hubiera guardado el asunto en el cajón. Einstein tuvo la audacia de aceptar con naturalidad que la luz se comportaba como onda y como corpúsculo simultáneamente2. Ya sabemos que la dualidad onda-corpúsculo es la idea básica de la moderna teoría cuántica a la que Einstein abrió camino.
3. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
La teoría electromagnética de Maxwell proporcionaba una solución para la propagación de las ondas electromagnéticas única, en concreto para el vacío (o retrotrayéndonos a la época respecto del éter):
donde μ0 es la llamada permeabilidad magnética del vacío, que es una constante y ε0 la llamada permitividad eléctrica del vacío que es otra constante; por tanto c ¡es única! ¿Qué ocurre entonces si el emisor de luz va montado en un móvil? En mecánica clásica, si nos movemos dentro de un tren nuestra velocidad respecto el exterior será la del tren más la nuestra respecto del tren. ¿Ocurre lo mismo con la luz? Michelson y Morley creyeron que sí e intentaron demostrarlo en un famoso experimento en 1881. Pensaron que no hacían falta trenes ya que vamos todos montados en un objeto en movimiento: la propia tierra. Si lanzamos dos rayos de luz en direcciones opuestas, puede ocurrir que uno se mueva a favor del movimiento terrestre aumentando su velocidad y por tanto el otro la disminuirá. Cuando esto se intentó comprobar ocurrió que en ambos casos la velocidad de la luz era exactamente la misma. Por tanto la velocidad de la luz es absoluta y no depende del sistema de referencia usado en su descripción. En un nivel profundo, esta conclusión revela una inconsistencia esencial entre la teoría electromagnética de Maxwell y la mecánica clásica. Había que resolver la contradicción lógica y devolver la armonía a la Física. La teoría de la relatividad especial comienza declarando solemnemente el carácter absoluto de la velocidad de la luz3. Veamos las implicaciones de esta idea.
Relatividad de la simultaneidad
Supongamos un tren y dos observadores. Al observador que viaja con el tren lo llamaremos O’ y al observador en tierra O. Supongamos que en el centro de un vagón un emisor de luz emite dos rayos en direcciones opuestas. En los extremos del vagón hay dos fotocélulas que activan la apertura de las puertas. ¿Cómo lo ve O’? Para O’ los rayos llegan simultáneamente a las fotocélulas y ve que las puertas se abren a la vez. ¿Cómo lo ve O? Para O el tren se mueve por lo que el rayo que va hacia la parte trasera tiene que recorrer menos espacio que el rayo que va hacia la parte delantera. Desde el punto de vista clásico no hay problema: el rayo hacia atrás recorre menos espacio pero también su velocidad se ve disminuida; el rayo hacia delante recorre más espacio pero va más rápido. Pero recordemos, la velocidad de la luz es la misma. Por tanto el observador O ve que la puerta trasera del tren se abre antes que la delantera. ¡Ambos observadores perciben una realidad diferente! No existe una simultaneidad absoluta. Removemos así la médula misma del tiempo ya que su medición se basa siempre en la asignación de simultaneidad a sucesos diferentes (uno de ellos siempre relacionado con un instrumento de medida).
Relatividad del tiempo
Figura 1: un rayo de luz para observadores en reposo y movimiento
El observador O’ ve un rayo que cae perpendicular al tren. El observador O ve un rayo que se inclina porque el tren se está moviendo (algo muy parecido ocurre si observamos la caída de la lluvia en reposo o en movimiento). Si la velocidad de la luz es la misma para ambos observadores el rayo que ve O recorre más camino que el visto por O’. Ello querría decir que ¡pasa más tiempo para O que para O’! La situación nos permite establecer una relación matemática entre ambas duraciones debido a que los rayos de luz y el desplazamiento del tren dibujan un triángulo rectángulo al que se le puede aplicar el teorema de Pitágoras:
donde v es la velocidad del tren, c la velocidad de la luz y t y t’ los tiempos que transcurren para cada observador. La anterior relación conduce fácilmente a:
Teniendo en cuenta la fórmula anterior, podemos concluir que si el tren viajara a velocidades pequeñas en relación con c (esto es lo normal) ambas duraciones coincidirían prácticamente. A medida que aumentamos progresivamente la velocidad del tren ambas duraciones se distinguen claramente, enlenteciéndose el tiempo local del tren. A una velocidad de 0,99c, mientras que para O transcurre un segundo para O’ transcurren 0´14 segundos. Si el tren viajara a la velocidad c, t’ se hace igual a cero y el tiempo dentro del tren se detendría. Si el tren viajara a velocidades superiores a la de la luz, t’ se convierte en un número imaginario que, como su propio nombre indica, no puede existir en la realidad. Por tanto, la velocidad c es insuperable, de manera que se convierte en un límite superior para esta magnitud. La relación matemática deducida ha sido comprobada midiendo la vida media de partículas inestables en aceleradores de partículas: este parámetro se alarga en función de la velocidad tal y como dicta nuestra fórmula. Por otra parte, el sistema GPS de localización global tiene suficiente precisión como para requerir una corrección relativista dado que los relojes de los satélites, debido a su movimiento, se retrasan unos siete microsegundos diarios. Por supuesto la corrección se ha calculado con nuestra fórmula matemática.
Relatividad de las dimensiones
Para visualizar y comprender convenientemente lo que ocurre con las longitudes, debido al movimiento, es mejor dar un dificultoso salto al tren. El observador O’ quiere ahora construir un metro. Recordemos la definición de esta unidad de medida: el metro es la longitud recorrida en el vacío por un rayo de luz en un tiempo de 1/299.792.458 segundos. Para ello toma una barra rígida y pone un foco de luz en un extremo; lo acciona y pone en marcha el cronómetro; cuando ha pasado el tiempo prescrito hace una marca y ya tiene su metro. ¿Cómo percibirá este metro el observador O? Visto desde O’ el observador O ¡se mueve! Por tanto, el tiempo local de O se enlentece respecto O’ y el metro construido le parecerá a O más pequeño ya que su cronómetro permite marchar a la luz durante menos tiempo. En definitiva, al observador en reposo el metro, y consiguientemente la longitud, se le acorta debido a la marcha del tren. Para el observador O las dimensiones se contraen en la dirección del movimiento si el tren se mueve. Además se puede establecer que se verán afectadas por el mismo factor que el tiempo, por lo que podemos escribir la relación cuantitativa que describe el fenómeno como:
La contracción de la longitud ha sido verificada en el diseño, por ejemplo, del acelerador lineal de la Universidad de Stanford. Las partículas salen con una velocidad v = 0,999975c, por tanto, cada metro de tubo acelerador es “visto” por los electrones como 144 metros. Si, según la expresión anterior, un cuerpo con masa se moviera a la velocidad c desaparecería por contracción de su longitud para un observador en reposo, lo cual refuerza el carácter inalcanzable de esta velocidad. Si los objetos con masa alcanzan este límite de velocidad la estructura básica de la realidad se desvanece. Por otra parte, vemos que cualquier influencia que afecte al tiempo también lo hará con el espacio. Esto no nos debe de extrañar, ya que ambas magnitudes se encuentran íntimamente relacionadas por lo único que se nos mantiene invariable: la velocidad de la luz. En relatividad hablamos de espacio-tiempo ya que son inseparables.
Relatividad de la masa
Sólo los objetos sin masa en reposo como la propia luz pueden alcanzar c sin que el cosmos tiemble bajo nuestros pies. Para todos los demás este límite es insalvable. ¿Qué significado tiene este notable hecho? Supongamos un objeto con masa sobre el que vamos a realizar trabajo aumentando su contenido en energía. Si nunca puede alcanzar c es porque a medida que nos acerquemos a esa velocidad costará cada vez más acelerarlo: cada vez tendrá más masa inercial (recordemos que esta magnitud nos da una idea de la resistencia de un cuerpo a ser acelerado). Por tanto, a medida que aumentamos el contenido en energía del cuerpo la masa inercial aumenta. ¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido en energía? Ese fue literalmente el título de uno de los artículos de Einstein durante el año 1905. La respuesta es afirmativa. ¡La masa de un cuerpo aumenta con su velocidad! Asimismo podemos aventurar que lo haga en la misma proporción que aparece una y otra vez en relatividad:
Por lo demás masa y energía varían en paralelo. Esto en términos cualitativos. Cuantitativamente no es muy difícil obtener, a partir de la relación anterior, la que dicen que es la ecuación más famosa de la Física:
¿Cuánta energía tendríamos que absorber para que nuestra masa aumente en un gramo? Supongamos un calefactor de 2000 W proporcionándonos un calor que absorbemos nosotros en su integridad, ¿durante cuánto tiempo debería cedernos energía para que ganáramos nuestro gramo de masa? Es fácil demostrar que ese tiempo sería:
En función de los datos establecidos, conduce a un resultado de ¡1427 años! Podemos verlo al revés: si en una reacción nuclear se pierde 1 gramo de masa se podrá mantener encendido nuestro calefactor todo ese mismo tiempo (suponiendo para todos los procesos de transformación energética una eficiencia del 100 %, lo cual es mucho suponer). Aquí está la explicación teórica de las enormes energías puestas en juego en las reacciones nucleares. ¡La energía de las estrellas! Las estrellas pierden enormes cantidades de masa cada segundo radiando sus inmensas cantidades de energía. Hasta 1905 esto era un enigma.
Hemos expuesto en esencia la llamada teoría de la relatividad especial o restringida en la que no hemos hablado de aceleraciones. El reto estaba claro: extender la teoría a sistemas acelerados. Einstein lo intentó desde 1906, pero tardó varios años en concluirlo con éxito. El resultado fue la teoría de la relatividad general4.
4. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL
Volvamos a nuestro tren. ¿Sería posible que el observador O’ viajara al futuro de O? Parece simple, ya que su tiempo es más lento, pero ya hemos visto anteriormente que desde O’ es el observador O el que se aleja con la misma velocidad que el tren: desde la perspectiva de O’ es O el que se mueve. Para O’ el tiempo de O se enlentece por igual, por lo que parece que nuestro viaje al futuro se desvanece ¿Entonces es falso el argumento de la película “El planeta de los simios”? Se nos olvida algo: si O’ (la nave de la película) quiere volver a O (la tierra en la película) en algún momento tendrá que acelerar para volver. Pero aún no sabemos lo que ocurre en el espacio-tiempo cuando hay aceleraciones.
Masa inercial y masa gravitatoria
¿Se puede anular la gravedad? Lo hemos visto en televisión: astronautas entrenándose en ingravidez. ¿Cómo lo hacen? Dejándose caer en picado en un avión; sólo están ingrávidos mientras el avión cae. El significado de este hecho es muy profundo ya que implica que una aceleración puede anular un campo gravitatorio. Hay una simetría entre las aceleraciones y la gravedad. Este hecho, al que nadie antes que Einstein atribuyó significado, ocurre por la coincidencia entre la masa inercial (resistencia a acelerarse) y la masa gravitatoria (tendencia a experimentar la acción de un campo gravitatorio). La intuición de Einstein centró la atención en esta sorprendente “casualidad”.
Simetría entre gravedad y aceleración
Por tanto los laboratorios de la figura 2 son totalmente indistinguibles pues no existe experiencia de ninguna clase que nos informe si somos acelerados o atraídos gravitatoriamente. Ambos sistemas de referencia son equivalentes. En particular, si nuestro científico se pesa en una báscula instalada en el suelo de los laboratorios ésta marcaría exactamente lo mismo.
a = 9,8 ms-2 | g = 9,8 ms-2 |
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Figura 2: equivalencia entre un laboratorio acelerado y otro con atracción gravitatoria
La luz es atraída por la gravedad
¿Qué ocurre si un rayo de luz entra en el laboratorio acelerado?
Figura 3: rayo de luz entrando por el lateral izquierdo en un laboratorio acelerado
Visto desde el laboratorio, el rayo de luz se curvaría debido a que todo el laboratorio completo va a su encuentro y, además, cada vez más rápido. Recordemos la simetría establecida: si la aceleración curva la luz la gravedad también lo hará lo que, de paso, confiere a la luz una cualidad bien extraña puesto que no tiene masa en reposo pero sí tiene momento ya que es capaz de intercambiarlo con el campo gravitatorio. Einstein predijo que el campo gravitatorio solar era suficiente para introducir una distorsión en las posiciones aparentes de las estrellas con posición angular próxima a la solar. Lógicamente hubo que esperar a un eclipse solar para poder establecer esta posición dado que normalmente es inobservable por la luminosidad solar. La predicción fue comprobada en 1919.
La gravedad y las aceleraciones afectan al espacio-tiempo
Analicemos ahora otro sistema acelerado: un gran tiovivo que gire muy rápido.
Figura 4: sistema giratorio acelerado
Pretendemos demostrar la conocida relación de la geometría de Euclides: Perímetro / Radio = 2π. Tendremos que hacer las medidas con una barra rígida de un metro de longitud, por ejemplo. La medida del radio no se ve afectada por el giro porque vamos en sentido perpendicular al movimiento. Pero si medimos el perímetro sí, ya que la barra se tendrá que disponer en la misma dirección del movimiento. ¿Qué ocurrirá? Ya lo hemos visto: que se modificará su longitud. Por tanto, la anterior relación elemental no se cumplirá. ¿Es esto posible? Realmente esto ocurre cuando trabajamos con círculos dibujados en superficies curvadas. Por consiguiente, la aceleración curva el espacio y, por equivalencia, la gravedad también. Newton describió la gravedad matemáticamente pero no tenía ni idea de cómo ni por qué un cuerpo actuaba a distancia sobre otro. Ahora ya lo sabemos: las masas curvan la geometría del espacio-tiempo. Para explicar esto la figura 5 presenta una analogía bidimensional (en realidad es el espacio en tres dimensiones el que resulta curvado).
Figura 5: espacio plano y espacio curvado por la presencia de una masa
Si lanzamos una canica por el espacio plano, y no tenemos en cuenta los efectos del rozamiento con la superficie, la trayectoria sería rectilínea y la velocidad no sería afectada: se cumpliría la ley de la inercia. Si hacemos lo mismo en el espacio curvado, la canica seguirá toda una familia de trayectorias según su velocidad y posición inicial: las curvas cónicas, ¡exactamente como los planetas y cometas alrededor de nuestro sol!
Pero si la gravedad afecta a las distancias curvando el espacio también debe hacerlo con el tiempo. En efecto, si volvemos a la figura 4 de nuevo y cambiamos las reglas rígidas por relojes, sabremos lo que ocurre: a medida que nos alejamos del centro del tiovivo vamos cada vez más rápido, lo que significa que el tiempo se enlentecerá cada vez más. La aceleración, por consiguiente, hace más lento el paso del tiempo y este efecto será tanto mayor cuanto mayor sea la aceleración. Por el principio de equivalencia, exactamente igual ocurrirá con la gravedad. Este hecho fue comprobado con relojes atómicos a diferentes alturas sobre la superficie terrestre en el año 1962, fecha en la que la medida del tiempo alcanzó la precisión suficiente para ponerlo de manifiesto. El sistema de localización global GPS, ya citado anteriormente, realiza habitualmente la corrección de este efecto: la menor atracción gravitatoria que experimentan los satélites adelanta sus relojes 45 microsegundos al día. Podemos conjeturar, por otra parte, que un punto dotado de una densidad prácticamente infinita, el punto inicial del Big Bang, experimentó un campo gravitatorio prácticamente infinito por lo que el tiempo estuvo completamente detenido. El inició de la expansión comenzó a debilitar el campo gravitatorio por lo que el tiempo empezó a marchar. Así, con el Big Bang nace, o quizás renace, el tiempo. Por último, si la aceleración enlentece el tiempo, nuestro observador O’ de la película “El planeta de los simios” tiene que acelerar para volver a la tierra (puesto de observación O). De este modo su reloj se retrasará de modo efectivo respecto a los terrestres: ¡el viaje al futuro es así posible!
NOTAS
Tampoco nadie ve normalmente los crímenes y sin embargo muchos de ellos se resuelven con un grado muy alto de certeza.
La ponencia que preparó para el congreso de Salzburgo en 1909 contiene la primera formulación explícita del principio de dualidad de la historia de la Física.
En contra del famoso aserto “todo es relativo” que parece conducir a una inconsistencia epistemológica ineludible.
Más técnicamente, la teoría de la relatividad especial establece las ecuaciones de transformación entre sistemas inerciales entre sí. La teoría de la relatividad general amplía estas ecuaciones de transformación a cualquier sistema de referencia, incluyendo los sistemas acelerados, no inerciales. Un requisito que se impone a estas ecuaciones es que las leyes físicas obtenidas en cualquier sistema de referencia deben de ser las mismas. Por tanto estas leyes se convierten en el punto de apoyo absoluto sobre el que la relatividad descansa.
BIBLIOGRAFÍA
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EINSTEIN, A.; GRÜNBAUM, A.; EDDINGTON, A. S. Y OTROS: La teoría de la relatividad. Selección de L. Pearce Williams. Alianza Universidad. Madrid, 1981.
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INVESTIGACIÓN Y CIENCIA: Monográfico sobre Einstein. Edición española. Noviembre, 2004.
LANDAU, L.; RUMER, Y.: ¿Qué es la teoría de la relatividad? Biblioteca científica de bolsillo Akal. Madrid, 1994.
RESNICK, R.; HALLIDAY, D.: Física. Compañía Editorial Continental. México, 1980.
Artículo publicado en el nº 9 de la revista SPIN CERO
